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暑假看微分几何总结1

想要搞与曲面曲线相关的科研，如三维人脸识别，计算几何，几何建模等等，微分几何是一门必须要学的基础性学科。由于视觉是人类获取外部信息的主要通道，一般的物体存在都要有一定的几何形态，所以微分几何还同计算机图形学、理论物理、生物、建筑等诸多学科都有着广泛的联系。综上所述，这个暑假给自己定的主要目标就是好好看看微分几何。

本科的时候学过一遍梅向明写的，前一段时间又翻了两遍，这本《微分几何》在中文教材里面是比较好懂的一本。曲线论主要就是Frenet公式，曲面论主要是从曲面上曲线的弧长公式推出曲面的第一基本形式（等距变换，保角变换，内蕴量的性质），从曲面与切平面间的有向距离推出第二基本形式，而曲率的推导过程是：曲面上曲线的曲率->法曲率->主曲率（利用杜邦指标线）->高斯曲率和平均曲率（及几何意义）。还有高斯曲率是内蕴量，测地曲率测地线，Gauss-Bonnet，极小曲面，常高斯曲率曲面。外微分和整体微分几何我就没看了。

这个暑假主要看的一本是Oprea.J.写的<Differential Geometry and Its Application>，当时决定看这一本，主要是因为他带了Maple的试验代码，对于搞计算机的来看，可能会更形象，更容易接受些。这本书的思路和梅向明的就有点不一样了，曲面论首先定义了形状算子，即曲面的法线沿某一方向的导数。然后利用该变换矩阵的不变量来定义了曲率，特征值就是主曲率，用矩阵的迹定义平均曲率，矩阵的行列式定义高斯曲率。然后讲了高斯曲率平均曲率的一些几何特性，测地线等，主要把几何的不变量性质来同微分方程结合进行研究。

老外写的这本书，还举了不少例子，便于读者加深对理论的理解。对于学工科的看数学，还是对其的应用价值最感兴趣，现在贴几个出来：

1.                    由于航海的发展，人们在海上可以利用北极星确定纬度，但是确定经度却比较困难。有一种方法是确定正午时与格林威治的时间差，但这就对钟表的准确性提出了要求。可以利用曲线论的方法研究如何确定钟摆的轨迹，使其摆动周期和振幅无关。55

2.                    核电站的冷却塔的结构是单叶双曲面，这是因为单叶双曲面是直纹面，可以沿其直母线方向放置梁，梁没有弯曲所以冷却塔所受压力较小，且易于建造。81

3.                    肺部气泡遵循Laplace-Young方程。175。肥皂膜是极小曲面，肥皂泡是平均曲率为常数的曲面。

4.                    地理坐标，在图形学中参数化的应用。

5.                    一个工业上的应用，求一个曲面连接平面传送带和圆柱管道，使得货物沿此曲面滑动最“平滑”，求出的满足条件的可展曲面为：292

6.                    陈省身讲的一个例子，利用螺旋线的几何性质研究DNA的化学性质（White公式，生物化学的一个基本的公式）

归根结底，我觉得微分几何最主要的思路就是：假定复杂曲线曲面的局部是可以用线性的切线切平面去近似，在其局部邻域建立坐标系，然后利用微积分推出曲面的一些与坐标系选取无关的不变量，进而揭示曲面的本质属性。

    感觉有时候搞科研就像顺藤摸瓜一样，学着学着，就又看到了另一快开阔的天地。从本科时学基础数学，到硕士时跟着老板学计算机；从开始学二维数字图像，到后来学三维图形；做测地线时感觉到对于曲面的理论了解太匮乏，就开始重新看微分几何；就看到了流形的概念，接着前几天看了流形学习的几篇文章。
    流形，感觉就是为了扩展线形的欧式空间，对于非线性的曲面，人们想到可以把这些复杂的曲面分成小块，局部可建立到欧式空间的同胚映射，可坐标化，而整体是可以拓扑同胚变换的。在流形上，人们还可以定义微分，这样就可以把原来只适用于欧式空间的很多方法移植到一般的流形上，如球面，圆柱侧面，及经过任意弹性变换后生成的曲面。比如NURBS的参数是定义在平面方块上，而要用NURBS进行复杂曲面的造型，就会遇到拼接这个麻烦的问题。王青就提出直接在一个复杂的流行空间上建立参数曲面，这样就会方便许多（《流行上参数曲面的理论和方法》）。
    后来在google上搜索manifold，不知怎么的就找到了流形学习（manifold learing）的几篇文章，主要是讲如何从非线性的高维观测数据空间中提取出一个低维的嵌入流形。和主成分分析等线性方法相比，可以更好地处理非线性的问题。而且人们推断，大脑记忆认知的模式就是基于流行的模式（The Manifold Ways of Perception）。看了Isomap方法的一篇文章（发表在Science上的牛文，三个作者分别是搞心理学，数学，计算机），和我前一段时间做的测地线的工作也联系起来了，可以去找搞数据挖掘的老师一块做做。

    好久没更新日志了，都一个月了。这一个月又看了好多关于三维几何模型处理的文献，现在写一点自己的感触，可能表达的不是很清楚，就是点感觉吧。
    首先，有些感觉是很简单的问题，你必须在更高层次的基础上才能很好地解决它。比如说，哥德巴赫猜想在初等数学的范筹内就可以很好地描述和理解，但是想要能真正证明它，真正理解它，则绝不能只在初等数学领域，而必须在更抽象的领域内完成。再比如前段时间我做的测地线工作，假设要求二维平面网格上两点间的最短路径，如果是二维平面上的一个小虫子，则只能一点一点去用Dijkstra这样的贪心算法去试，而三维空间中的观察者则一下子就能看出来。
    另外，感觉自己对三维曲面（三角网格模型）的理解就像打怪练级一样，现在正在练第三级。
    第一级，要建立对三角网格的数据结构，点边面操作的基本概念，如可以看看一些早期的边折叠简化，网格优化的文章，把这些经典算法编程实现。这一级不需要什么深奥的数学知识，只需要了解三角网格操作的数据结构，一些简单的优化算法，理解迭代算法的思想。
    第二级，要建立对于曲面局部不变性的概念，并要设法离散化。这就涉及到微分几何了，如曲率，测地线，第一第二基本型，参数化，网格重采样的概念等等。我看的中文教材就是梅向明的那本，比较好懂。还有就是要把连续微分算子离散化，就是Discrete Differential Geometry，这个最近好多人都在做，没有教材，大家可以看看Meyer的文章。
    第三级，差不多可以有两个方向吧，一是将线形的欧式空间拓展到非线性的流形，二是将曲面的局部不变性质拓展到曲面的全局属性。这一级我也正在练，所以可能说的不好。首先欧式空间是线性的，但实际一些空间却不是，如球面。人们就想到可以把这些复杂的曲面分成小块，局部可坐标化，而整体是可以拓扑同胚变换的，这就是流形的概念。这个可以找拓扑的书看看，简单地可以看一下王青的博士论文。另外也有用曲面的整体性质来研究曲面性质的，这就涉及到整体微分几何等概念了。这个我还没怎么看，有篇siggraph2004的文章利用Morse方程来研究的，有大牛看完了给俺讲讲:)

前几天刚看完，感觉很不错，张炜 著，二十世纪作家文库·第二辑，这本书收录了作者的几篇中短篇小说：
一潭清水
黑鲨洋   
冬景
蘑菇七种
金米
瀛洲思絮录
庄周的逃亡
其中《蘑菇七种》和《瀛洲思絮录》我最喜欢，魔幻和历史的融合，强烈推荐。

最近老是感觉要学的东西太多了，时间精力不够

微分几何、拓扑、黎曼几何、微分流形，就算建立些基础概念，似乎也要花很多时间。联系到图形学，还要好好学学如何求解三角网格的离散微分几何不变量

前段时间做的求三角网格的测地线，想要分析证明一下算法的收敛性，就要学图论、组合最优化、算法...

VC＋＋备课

还有近几年的siggraph要看，下载的讲义，三维动画电子杂志...

感觉个人的精力真是有限。解决方法：团队学习，多和别人交流，少走弯路；数学还是只学要用到的东西，最近主要还是把精力主要放在离散微分几何（DDG）上面吧

另外，报了个龙星的高级图形学课程，希望能有机会暑假去听听，开开眼界

把硕士阶段做的东西大概流程图发上来：

首先是算法的总流程图：

2 点云数据获取

3 网格简化算法

4 自动贴图算法效果

5 表情动画自动生成效果

虽然自己现在也在教课，但是感觉自己不是很合格：一是水平不够，教的不好；二是对教学的动力明显不如科研。贴一个转载的小故事，在此勉励自己要做好为人师表的工作。

>> 上课铃响了，孩子们跑进教室，这节课老师要讲的是《灰姑娘》的故事。老师先请一个
>> 孩子上台给同学讲一讲这个故事。孩子很快讲完了，老师对他表示了感谢，然后开始向
>> 全班提问。
>>
>> 老师：你们喜欢故事里面的哪一个？不喜欢哪一个？为什么？
>>
>> 学生：喜欢辛黛瑞拉（灰姑娘），还有王子，不喜欢她的后妈和后妈带来的姐姐。辛黛
>> 瑞拉善良、可爱、漂亮。后妈和姐姐对辛黛瑞拉不好。
>>
>> 老师：如果在午夜12点的时候，辛黛瑞拉没有来得及跳上她的南瓜马车，你们想一想，
>> 可能会出现什么情况？
>>
>> 学生：辛黛瑞拉会变成原来脏脏的样子，穿着破旧的衣服。哎呀，那就惨啦。
>>
>> 老师：所以，你们一定要做一个守时的人，不然就可能给自己带来麻烦。另外，你们
>> 看，你们每个人平时都打扮得漂漂亮亮的，千万不要突然邋里邋遢地出现在别人面前，
>> 不然你们的朋友要吓着了。女孩子们，你们更要注意，将来你们长大和男孩子约会，要
>> 是你不注意，被你的男朋友看到你很难看的样子，他们可能就吓昏了（老师做昏倒状，
>> 全班大笑）。
>>
>> 好，下一个问题：如果你是辛黛瑞拉的后妈，你会不会阻止辛黛瑞拉去参加王子的舞
>> 会？你们一定要诚实哟！
>>
>> 学生：（过了一会儿，有孩子举手回答）是的，如果我辛黛瑞拉的后妈，我也会阻止她
>> 去参加王子的舞会。
>>
>> 老师：为什么？
>>
>> 学生：因为，因为我爱自己的女儿，我希望自己的女儿当上王后。
>>
>> 老师：是的，所以，我们看到的后妈好像都是不好的人，她们只是对别人不够好，可是
>> 她们对自己的孩子却很好，你们明白了吗？她们不是坏人，只是她们还不能够像爱自己
>> 的孩子一样去爱其它的孩子。
>>
>> 孩子们，下一个问题：辛黛瑞拉的后妈不让她去参加王子的舞会，甚至把门锁起 来，
>> 她为什么能够去，而且成为舞会上最美丽的姑娘呢？
>>
>> 学生：因为有仙女帮助她，给她漂亮的衣服，还把南瓜变成马车，把狗和老鼠变成仆
>> 人。
>>
>> 老师：对，你们说得很好！想一想，如果辛黛瑞拉没有得到仙女的帮助，她是不可能去
>> 参加舞会的，是不是？
>>
>> 学生：是的！
>>
>> 老师：如果狗、老鼠都不愿意帮助她，她可能在最后的时刻成功地跑回家吗？
>>
>> 学生：不会，那样她就可以成功地吓到王子了。（全班再次大笑）
>>
>> 老师：虽然辛黛瑞拉有仙女帮助她，但是，光有仙女的帮助还不够。所以，孩子们，无
>> 论走到哪里，我们都是需要朋友的。我们的朋友不一定是仙女，但是，我们需要他们，
>> 我也希望你们有很多很多的朋友。
>> 下面，请你们想一想，如果辛黛瑞拉因为后妈不愿意她参加舞会就放弃了机会，她可能
>> 成为王子的新娘吗？
>>
>> 学生：不会！那样的话，她就不会到舞会上，不会被王子遇到，认识和爱上她了。
>>
>> 老师：对极了！如果辛黛瑞拉不想参加舞会，就是她的后妈没有阻止，甚至支持她去，
>> 也是没有用的，是谁决定她要去参加王子的舞会？
>>
>> 学生：她自己。
>>
>> 老师：所以，孩子们，就是辛黛瑞拉没有妈妈爱她，她的后妈不爱她，这也不能够让她
>> 爱自己。就是因为她爱自己，她才可能去寻找自己希望得到的东西。如果你们当中 有
>> 人觉得没有人爱，或者像辛黛瑞拉一样有一个不爱她的后妈，你们要怎么样？
>>
>> 学生：要爱自己！
>>
>> 老师：对，没有一个人可以阻止你爱自己，如果你觉得别人不够爱你，你要加倍地爱自
>> 己；如果别人没有给你机会，你应该加倍地给自己机会；如果你们真的爱自己，就会为
>> 自己找到自己需要的东西，没有人可以阻止辛黛瑞拉参加王子的舞会，没有人可以阻止
>> 辛黛瑞拉当上王后，除了她自己。对不对？
>> 学生：是的！！！
>>
>> 老师：最后一个问题，这个故事有什么不合理的地方？
>>
>> 学生：（过了好一会）午夜12点以后所有的东西都要变回原样，可是，辛黛瑞拉的水晶
>> 鞋没有变回去。
>>
>> 老师：天哪，你们太棒了！你们看，就是伟大的作家也有出错的时候，所以，出错不是
>> 什么可怕的事情。我担保，如果你们当中谁将来要当作家，一定比这个作家更棒！
>>
>> 你们相信吗？
>>
>> 孩子们欢呼雀跃。

周昆（Zhou Kun）明确是头大牛，在Siggraph上好像已经发表了三篇第一作者的论文。这两天找到了他在浙大的博士毕业论文，题目是《数字几何处理：理论与应用》，2002，指导教师 石教英，鲍虎军 。    文章的核心思想是将亏格为零的三角网格映射到球面，然后就可以利用球面调和分析来建立一套类似傅立叶变化的体系。这样就可以对三角网格进行类同数字图象处理，将几何信号来回切换与时频域来处理了。他的博士论文建立了一个比较完备的理论体系，确实做得很不错。

论文和演示效果可上此网址下载 http://www.cad.zju.edu.cn/home/kzhou/

唉，自己估计成为这样的大牛是不可能的了，尽量努力成为一头小牛吧。博士是肯定要读的，也可以两年后考浙大的；现在的数学功底还不够，准备恶补微分几何的知识了。

Tim Rowley也算一个牛人了，他把最近几年的Siggraph，Eurographics等计算机图形学顶级会议的所有文章链接都整理好了，你可以去作者的研究主页下载论文和视频演示材料，便于你了解最近国际上图形学的研究方向和热点。

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                中国的数学
————几件数学新闻和对于中国数学的一些看法
庆祝自然科学基金制设立15周年和国家自然科学基金委员会成立10周年的讲演


陈省身
(Machematical Sciences Research Institute, 1000
Centennial Drive, Berkeley, CA94720, USA;
南开大学数学研究所，天津300071)

张存浩先生要我讲点数学，这么短的时间，而数学这么大，只好举几个要点
谈谈。数学是什么？数学是根据某些假设，用逻辑的推理得到结论，因为用
这么简单的方法，所以数学是一门坚固的科学，它得到的结论是很有效的。
这样的结论自然对学问的各方面都很有应用，不过有一点很奇怪的，就是这
种应用的范围非常大。最初你用几个数或画几个图就得到的一些结论，而由
此引起的发展却常常令人难以想象。在这个发展过程中，我认为不仅在数学
上最重要，而且在人类文化史上也非常突出的就是Euclid在《几何原本》。
这是第一本系统性的书，主要的目的是研究空间的性质。这些性质都可以从
很简单的公理用逻辑的推理得到。这是一本关于整个数学的书，不仅仅限于
几何学。例如，Euclid书上首先证明素数的个数是无穷的，这便是一个算术
的结论。随着推理的复杂化，便有许多“深刻”的定理，需要很长的证明。
例如 ，有些解析数论定理的证明，便需几十条引理。最初，用简单的方法
证明几个结果，大家很欣赏，也很重要。后来方法发展了，便产生很复杂的
推理，有些定理需要几十页才能证明。现在有的结果的证明甚至上百页，
上千页。看到这么复杂的证明，我们固然惊叹某些数学家高超的技巧和深厚
的功力，但心中难免产生一些疑问，甚或有些无所适从的感觉。所以我想，
日后数学的重要进展，在于引进观念，使问题简化。
    先讲讲有限单群的问题。

1。有限单群
    我们知道，数学的发展中有一个基本观念———群。群也是数学之中
各方面的最基本的观念。怎样研究群的结构呢？最简单的方法是讨论它的
子群，再由小的群的结构慢慢构造大一些的群。群中最重要的一种群是有
限群，而有限群是一个难极了的题目，需要有特别的方法，特别的观念去
研究。
命G为群，g∈G为一子群，如对任何g∈G
                 -1
                g H g ∈H
则称H为正规的(nomal). 正规子群存在，可使G的研究变为子群H及商群
G/H的研究。这样就有一个很自然的问题，有哪些有限的单群(simple 
group).单群除了它自己和单位元(identity)之外，没有其他的非平凡的
正规子群(normalsubgroup). 数学上称其为简单群，其实一点也不简单。
有限群论的一个深刻的定理是Fei-Thompson定理：非交换单群的阶(数)
(即群中元素的个数)是偶数。更不寻常的是除了某些大类(素数阶循环群
Zp,交错群An(n>=5), Lie型单群)外，后来发现了26个零零碎碎的有限单
群(散在单群，离散单群), 现在知道，最大的散在单群的阶是
 41 20 9 6  2  3                                        54
2  3  5 7 11 13 17 19 23 29 31 41 47 59 71 =808,017..=10
这是很大的单群，由B。Fisher 和 R。L.Griess两位数学家所发现，数
学家称它为魔群(怪物，Monster).
单群的权威数学家D.Gorenstein相信有限单群都在这里了，这当然是数
学上一个很好的结果。把单群都确定了，就像化学家把元素都确定了，
物理学家把核子的结构都确定了一样。可这里有个缺点，Gorenstein并
未将证明定出来。他讲若将证明写出来至少有1000页，而1000页的证明
无论如何很容易有错误。可是Gorenstein又说，不要紧，若有错误，这
个错误一定可以补救。你相信不相信？数学界有些人怀疑这样的证明是
否必要。现在计算机的出现，许多问题可以验证到很大的数，是否还需
要严格的证明，已变成数学上一个有争论的问题。这个争论看来一时无
法解决。段学复先生是我的老朋友，是有限群论的专家，也许我们可以
问一下他的意见。我个人觉得这个问题很难回答。不过数学家有个自由，
当你不能做或不喜欢做一个问题时，你完全不必投入，你只需做一些你
能做或喜欢做的问题。

2 四色问题
把地图着色，使得邻国有不同的颜色，需要几种颜色？经验告诉我们，
四色够了。但是严格的证明极难。这就是有各的四色问题。地图不一
定在球面上，也可在亏格高的的曲面上(一个亏格高为g的曲面在拓扑
上讲是球面加g个把手；亏格为1的曲面可设想为环面)。可惊奇的是，
这个着色问题，对于g>=1的曲面完全解决了。可以证明：有整数χ(g),
满足条件：在亏格为g的曲面上任何地图都可用χ(g)种颜色着色，使
邻国有不同颜色，且有地图至少需要χ(g) 种颜色。这个数在g>=1时
可以完全确定。我们知道      χ(1)=7，即环面上的地图可用七色
着色，四色不够。
令人费解的是，证明地球上四色定理，困难多了。现有的证明，需要
计算机的帮助，与传统的证明不同。而我们觉得最简单的情况，即我
们住的地球球面上的着色问题反而特别复杂。把扩充的问题解决了，
得到了很有意思的结论。但是回到基本问题，反而更难。这种现象不
止这一个，还有很多，一个例子是所谓的低维拓扑，即推广的问题更
简单，而本身核心的问题反而不易克服，这确是数学神秘性的一面。

3 椭圆曲线
最近的数学进展，最受人注意的结果就是Fermat大定理的证明。
Fermat大定理说：方程式
                 n     n     n
                x  +  y  =  z ,n>2
没有非平凡的整数解(即xyz<>0). 这个传说了300年的结果的证明，
最近由Princeton大学的教授Andrew J.Wiles(英国数学家)给出。但
证明中缺一段，是由他的学生Richard Tarlor补充的。因此，Fermat
 定理现在已经有了一个完全的证明。整个文章发表在最近一期的
“Annals of Mathematics"(Prinston大学杂志，1996，第一期)整
个一期登的是Wiles与Taylor的论文，证明Fermat定理(Wiles为此同
Robert Langlands 获得了1996年的Wolf奖与National Academy 
Science Award in Mathematics).
有意思的是，证明这个定理的关键是椭圆曲线。这是代数数论的一
个分支。有以下一则
故事。英国的大数学家G.H.Hardy(1877-1947)有一天去医院探望他
的朋友，印度天才数学家S.A.Ramanujan(1887-1920).Hardy 的汽车
号是1729。他向Ramanujan说，这个数目没有意思。Ramanujan说，
不然，这是可以用两种不同方法写为2个立方之和的最小的数，如
                        3      3   3      3
                1729 = 1  +  12 = 9  +  10
这结果可用椭圆曲线论来证明。 
我们知道，要找一个一般方程的解不容易的，而要找一个系数为整
数的多项式方程
                P(x,y) = 0
(传统上叫Diophantine方程)的整数解更困难。因为普通的解不会是
整数，这是数论中的一个主要问题。需要说明的，在Wiles 完成这
个证明之前，我有一位在Berkley的朋友Kenneth A.Ribet ,他有重
要的贡献。他证明了一日本数学家Yutaka Taniyama的某一个关于
椭圆曲线的假设包含Fermat定理。于是可将Fermat 定理变为一个
关于椭圆曲线的定理。Wiles根据Ribet的结果又继续经过了许多步
骤，以至达到最后的证明。即在复平面内得到曲线。由复变函数论
知道，复平面内的曲线就成为一个Riemann曲面。Riemann曲面为定
向曲面，它可以是球，也可以是球加上好多把手。其中有一个最简
单的情形，就是一个球加上一个把手，即一个环面。环面是个群，
且为可交换群。
所谓椭圆曲线，就是把这个曲线看成复平面内亏格(genus)等于1的
复曲线。亏格等于1的曲线有一个非常深刻而巧妙的性质。即它上面
的点有一个可交换群的构造。两个点可以加起来，且有群的性质。
这是很重要的性质。椭圆曲线与椭圆无关。原因是，若所有曲线的
亏格大于1，相当于Riemann曲面有一个Poincare度量，它的曲率等
于1，所有曲面若其曲率等于—1，则叫做双曲的。亏格等于1的叫
椭圆。亏格等于0的叫抛物线。椭圆曲线的研究是数论中非常重要，
非常有意思的方面。最近一期的科学杂志(Science)，有位先生写了
一篇关于椭圆曲线的文章。椭圆曲线在电报的密码上有应用。而中
国也有很多人在做代数几何与代数数论方面的工作。最近在黄山有
一个国际性的，题为“代数几何与代数数论”的会议，由冯克勤先
生主持。从这个定理我们应认识到：高深的数学是必要的。Fermat
定理的结论虽然简单，但它蕴藏着许多数学的关系，远远超出结论
中的数学观念。这些关系日新月异，十分神妙，
学问之奥，令人拜赏。我相信，Fermat定理不能用初等方法证明，
这种努力是徒劳的。数学是一个整体，一定要吸取几千年所有的进
步。

4 拓扑与量子场论
1995年初的一天晚上，我在家看晚间电视新闻。突然，我听到自己
的名字，大吃一惊。原来加利福尼亚发一种彩票，头彩300万美元，
若无人中彩的话，可以积累到下一次抽彩。我从前的一个学生，
名Robert Uomini, 中了头彩美金2200万元。他曾选过我的本科课，
当时还对微分几何很有兴趣。他很念旧，以100万美元捐赠加州大
学，设立“陈省身讲座”。学校决定，以此讲座邀请名学者为访问
教授。第一位应邀的为英国数学家Sir Michael Atiyah. 他到中国
不止一次。他是英国影响最大的数学家，剑桥大学三一学院的院长，
则卸任的英国皇家协会会长。Atiyah很会讲学，也很博学，他的报
告有很大的吸引力。他作了八讲，讲题是“拓扑与量子场论”。这
是当前一个热门的课题，把高深的数学和物理联系起来了，导出了
深刻的结果。现在拓扑在物理上有非常重要的应用，这跟杨振宁的
Yang-Mills场方程有很密切的关系。杨先生喜欢说，你们数学家写
的东西，我们学物理的人看不懂，等于另外一种文字。我想我们搞
数学的人有责任把我们的结果，写成不是本行的人也至少知道你讲
的是怎么一回事。

物理学，量子力学，尤其是量子场论与数学的关系其实并不复杂。
说到数学的应用，讲一下矢量空间，Euclid空间就是一个矢量空间。
再进一步，多个矢量空间构成一个拓扑空间，这就是所谓的矢量丛，
即一束这样的空间。这样的空间有一些简单的性质。比如说，局部
来讲，这种矢量空间是一个chart，是一个集，可用坐标来表示。
结果发现矢量丛这种空间在物理上很有用。物理学的一个基本观念
是“场”。最简单的场是电磁场，尤为近代生活的一部分。电磁场
的“势”适合Maxwell方程。Hermann Weyl第一个看出这个势不是
一个确定的函数。它可以变化。这在物理上叫做规范(gauge, 不完
全确定的，可以变化的),这就是物理上规范场论的第一个情形。

物理上有4种场：电磁场，引力场，强作用场和弱作用场。现在知道，
这些场都是规范场。即数学系上是一束矢量空间，用一个线性群来
缝住的。电磁场的重要推广，是Yang-Mills的规范场论。杨先生的
伟大贡献就是在SU(2)(special unitary group in twovariables)
情形下得到物理意义明确的规范场，即同位旋(isospin)规范场，
这种将数学现象给以物理的解释，是件了不起的工作，因为以往的
Maxwell场论是一个可交换的群。现在变为在SU(2),群是不能交换的。
而实际上，物理中找到了这样的场，这是科学上一个伟大的发展。
数学家可以自豪的是，物理学家所需的几何观念和工具，在数学上
已经发展了。杨先生之所以有这么大的成就，其中一个很重要的，
很了不起的原因是除了物理的感觉以外，他有很坚实的数学基础。
他能够在这大堆复杂的方程中看出某些规律，它们具有某种基本的
数学性质。Yang-Mills方程的数学基础是纤维丛。这种观念Dirac
就曾有过。Dirac的一篇基本论文中就讲到这种数学。但Dirac没有
数学的工具。所以他在讲这种观念时，不但数学家不懂，就连物理
学家也不懂。不过，其中有一个到现在还未解决的物理含义，即有
否磁单极(magnetic monople)。可能会有。就是说，有否这样的场，
它的曲率不等于0(曲率是度量场的复杂性的)?物理上要是发现了这
种场，会是件不得了的事实。这些观念的数学不简单。Yang-Mills
方程反过来影响到拓扑。现在的基础数学中，所谓低维拓扑(二维，
三维，四维)非常受人注意。因为物理空间是四维空间。而四维空
间有许多奇妙的性质。我们知道代数几何，曲线论，复变函数论
等许多基础数学理论是二维拓扑。而现在必到四维，四维有spinor
理论，有quantum结构。四维与物理更接近。它的结构是Lorentz结
构，而不是Riemann结构。这方面有很多工作可做。根据Yang-Mills
方程，对于四维拓扑，Atiyah的学生英国数学家Simon Donaldson
有很重要的贡献。其中有一个结果就是利用Yang-Mills方程证明四
维Euclid空间R4有无数微分结构与其标准结构不同。这一结果最近
又由Seiberg-Witten的新方程大大的简化了。这是最近拓扑在微分
几何，理论物理应用方面最引人注意的进展。

二维流形的发展有一段光荣的历史，牵涉到许多深刻的数学，可以
断言，三维，四维流形将更为丰富和神妙。

5。球装问题(Sphere Packing)

如何把一定的空间装得最紧，显然是一个实际而重要的问题。项武
义教授最近在这方面做了很重要的工作。这里先介绍一个有关的问
题：围着一个球，可以放几个同样大小的球？我们不妨假定球的半
径为一，即单位球。在平面情形，绕一单位圆我们显然可以放6个单
位圆。而在三维空间的情况则更为复杂。如果把单位球绕单位球相
切，不难证明，12个球是放得进的。这时虽然还剩下许多空间，但
不可能放进第13个球。要证明这一结论并不容易。当年Newton与
Gregory有个讨论。Newton 说第13个球装不进，Gregory说也许可以。
这个争论长期悬而未决。一直到1953年，K.Schutte和B.L.van der
 Waerden才给了一个证明。这个证明是很复杂的。

一个更自然的问题是怎样把一个立方体空间用大小相同的球装得最
紧。衡量装得是否紧凑的尺度是密度(density)，即所装的球的总
的体积和立方体空间的体积的比例。Kepler于1611年提出了一个猜
想：他认为立方体的球装的密度不会大于π/(18^1/2).项武义说他
证明了这个猜想。可是有人(Gabor Fejes Toth)认为他的证明不完
全，甚至有人(Thomas L.Hales)说是错误的。"Mathematical 
Intelligencer"这个杂志上(1995年),有关于这一问题的讨论，项
武义有个答复。Toth 是匈牙利数学家，三代人搞同一个课题。匈
牙利数学很发达，在首都布达佩斯有个200多人的几何研究所。我
不知道几何中是否有这么多重要的问题需要这么多人去做。最年轻
的Toth在“MathematicsReviews"中有篇关于项的文章的评论。他
说项的文章有些定理没有详细的证明。天下的事情就是这样。做重
要工作有争议的时候，便产生一些有趣的现象。不过他觉得项的意
思是对的。不但项的意思是对的，甚至表示这个意思他从前也有。
最近项武义抒他认为没有的证明都有写出来了。

最主要的，我要跟大家说的是立体几何在数学中是很重要而因难的
部分。即使平面几何也可能很难。到了立体时，则更为复杂。近年
来对碳60(C60)的研究显示了几何在化学中的应用。多面体图形的
几何性质对固态物理也有重大的作用。。球装不过是立体几何的一
个问题。立体几何是大有前途的。

6。Finsler几何

最近经我鼓励，Finsler几何有重大发展，作简要报告如次：
在(x,y)平面上设积分
                b
           s = ∫    F(x,y,dy/dx)dx
                a
其中y是x的未知函数。求这个积分的极小值，就是第一个变分学的
问题。称积分s为弧长，把观念几何化，即得Finsler几何。Gauss
看出，在特别情形：
         2                              2
        F  =E(x,y) + 2F(x,y) y' +G(x,y)y'       ,y'=dy/dx
其中E,F,G为x,y的函数，几何性质特别简单。1854年，Riemann的
讲演讨论了整个情形，创立了Riemann-Finsler几何。百余年来，
Riemann几何在物理中有重要的应用，而整体Riemann几何的发展更
是近代数学的核心部分。Riemann的几何基础包含Finsler几何。
我们最近几年的工作，把Riemann几何的发展，局部的和整体的，
完全推广到Finsler几何，而且很简单。因此，我觉得以后的微分
几何课或Riemann几何课都应该讲一般情形.最近有几个拓扑问题.
最主要的一个是Riemann流形的一个重要性质，即英国数学家Hodge
的调和积分。现在有2个年轻人，一个是David Bao, 另一个是他的
美国学生，抒这个Hodge的调和积分推广到了Finsler情形。这将是
微分几何的一块新园地，预料前景无限。1995年夏在美国西雅图有
一Finsler几何的国际会议。其论文集已于今年由美国数学会出版.
Finsler 几何在1900年有名的Hilbert演讲中是第23个问题。

7。中国的数学

数学研究的最高标准是创造性：要达到前人未到的境界，要找着最
深刻的关键。从另一点看，数学的范围，是无垠的。我愿借此机会
介绍一下科学出版社从俄文翻译的《数学百科全书》，全书5大卷，
每卷约千页。中国能出版这样的巨著,即是翻译，也是一项可喜的
在就。这是一部十分完备的百科全书，值得赞扬的。对着如此的学
问大海，入门必须领导，便需要权威性的学校和研究所。数学是活
的，不断有杰出的贡献，令人赞赏佩服。但一个国家，比较可以集
中某些方面，不必完全赶时髦。当年芬兰的复变函数论，波兰的纯
粹数学，都是专精一门而有成就的例子。

中国应该发展实力较强的方面。但由百科全书的例子，可看出中国
的数学是全面的。这是一个可喜的现象。中国的财富在“人民”。
中国的数学政策，除了鼓励尖端的研究以外，应该用来提高一般的
数学水平。我有两个建议：(1)设立数学讲座，待遇从优，其资格
可能是对数学发展有重大贡献的人；(2)设立新的数学中心，似乎
成都，西安，广州都是可能的地点。

中心应有相当的经费，部分可由地方负担，或私人筹措。近年因
为国家开放，年轻人都想经商赚钱，当然国家社会需要这样的人。
但是做科学的乐趣是一般不能理解的。在科学上做了基本的贡献，
有历史的意义。我想对于许多人，这是一项了不得的成就。在岗
位上专心学问，提携后进，“得天下之英才而教育之“，应该是
十分愉快的事情。一个实际的问题，是个人应否读数学。Hardy 
说，一个条件是看你是否比老师强。这也许太强一些。我想学习
应不觉困难，读名著能很快与作者联系，都是测验。数学是小科
学，可以关起门来做。在一个多面竞争的社会中，是一项有优点
的职业，即使你有若干能力。

中国的数学有相当水平。年来政治多变，达此情况，足风中华民
族的勤劳本质。从前一个数学家的最高标准，是从国外名大学获
得博士学位。我们国家现在所包需做的，是充实各大学的研究院，
充实博士学位，人才由自己训练。

致谢  本文承葛墨林，陈永川教授帮助整理，特此致谢。


 

二十世纪的数学

              －－－Michael Atiyah 

    谢谢邀请我来这里参加这个活动．当然，如果有人想谈论一个世纪的终结以及下一个 
世纪的开始，那么他有两个具有相当难度的选择：一个是回顾过去百年的数学；另一个是 
对未来百年数学发展的预测，我选择了前面这个比较困难的任务，任何人都可以预测未来 
而且我们并不能判定是对还是错．然而对过去的任何评述，每个人都可以提出异议． 

    我在这里所讲的是我个人的观点．这个报告不可能包含所有内容，特别是，有一些重 
要的内容我不准备涉及，一部分是因为我不是那些方面的专家，一部分也是出于它们已经 
在其他地方被评述过了.例如，我不会去谈论那些发生在逻辑与计算领域内的著名事件， 
这些事件往往是与像Hilbert，Godel，Turing这些伟大的名字相关的，除了数学在基础物 
理中的应用之外，我也不会谈论太多数学的其他应用，这是因为数学的应用太广泛了，而 
且这需要专门的论述．每一个方面都需要一个专门的报告．也许大家在这次会议的其他报 
告中会听到很多关于这些内容的演讲．另外，试着罗列一些定理，甚至是列出在过去一百 
年的著名数学家的名字也是毫无意义的，那简直是在做枯燥的练习．所以，代替它们的是 
，我试着选择一些我认为在很多方面都是很重要的主题来讨论并且强调围绕这些主题所发 
生的事情． 

    首先我有一个一般性的说明．世纪是一个大约的数字概念．我们不会真地认为在过整 
整一百年的时候，有些事情会突然停下来，再重新开始，所以当我描述二十世纪的数学时 
，有些内容实际上可能是跨世纪的，如果某件事件发生在十九世纪九十年代，并持续到二 
十世纪初，我将不去计较这种时间方面的细节．我所做的就象一个天文学家，工作在一个 
近似的数字环境中．实际上，许多东西始于十九世纪，只不过在二十世纪才硕果累累． 

    这个报告的难点之一是很难把我们自己放回到1900年时作为一位数学家的位置上，这 
是因为上个世纪的数学有非常多的内容已经被我们的文化和我们自己吸收掉了．难以想象 
人们不用我们的术语来思考的那个时代是什么样子的．实际上，如果现在有人在数学上有 
一个真正重要的发现，其后他也一定会与之一起被忽略掉了！他会完全地被融入到背景之 
中，于是为了能够回顾过去，我们必须努力去想象在不同时代，人们用不同方式思考问题 
时的情景． 


                            从局部到整体 

    作为开始，我准备列一些主题并且围绕它们来讨论．我谈论的第一个主题概括地讲， 
就是被大家称为从局部到整体的转变．在古典时期，人们大体上已经研究了在小范围内， 
使用局部坐标等等来研究事物．在这个世纪，重点已经转移到试图了解事物整体和大范围 
的性质．由于整体性质更加难以研究，所以大多只能有定性的结果，这时拓扑的思想就变 
得非常重要了．正是Poincaré，他不仅为拓扑学发展作出先驱性的贡献，而且也预言拓 
扑学将成为二十世纪数学的一个重要的组成部分，顺便让我提一下，给出一系列著名问题 
的Hilbert并没有意识到这一点．拓扑学很难在他的那些问题中找到具体体现．但是对Po 
incaré而言，他相当清楚地看出拓扑学将成为一个重要的内容． 

    让我试着列一些领域，然后大家就能知道我在想什么了．例如，考虑一下复分析（也 
被称为“函数论”），这在十九世纪是数学的中心，也是象Weierstrass这样伟大人物工 
作的中心．对于他们而言，一个函数就是一个复变量的函数;对于Weierstrass而言，一个 
函数就是一个幂级数．它们是一些可以用于写下来，并且可以明确描绘的东西或者是一些 
公式．函数是一些公式:它们是明确可以用显式写下来的．然而接下来Abe1，Riemann和其 
后许多人的工作使我们远离了这些，以至于函数变得可以不用明确的公式来定义，而更多 
地是通过它们的整体性质来定义：通过它们的奇异点的分布，通过它们的定义域位置，通 
过它们取值范围．这些整体性质正是一个特定函数与众不同的特性．局部展开只是看待它 
们的一种方式． 

    一个类似的事情发生在微分方程中，最初，解一个微分方程，人们需要寻找一个明确 
的局部解！是一些可以写下来的东西．随着事物的发展，解不必是一个显函数，人们不一 
定必须用好的公式来描述它们．解的奇异性是真正决定其整体性质的东西．与发生在复分 
析中的一切相比，这种精神是多么的类似，只不过在细节上有些不同罢了． 

    在微分几何中，Gauss和其他人的经典工作描述了小片的空间，小块的曲率以及用来 
描述局部几何的局部方程．只要人们想要了解曲面的整体图象以及伴随它们的拓扑时，从 
这些经典结果到大范围的转变就是很自然的了．当人们从小范围到大范围时，最有意义的 
性质就是拓扑的性质． 

    数论也有一个类似的发展，尽管它并不是很明显地适用于这一框架．数论学家们是这 
样来区分他们称之为“局部理论”和“整体理论”的：前者是当他们讨论一个单个的素数 
，一次一个素数，以及有限个素数时；后者是当他们同时讨论全部素数时．这种素数和点 
之间，局部和整体之间的类似性在数论发展过程中起了很重要的作用，并且那些在拓扑学 
发展中产生的思想深深地影响了数论． 

    当然这种情况也发生在物理学中，经典物理涉及局部理论，这时我们写下可以完全描 
述小范围性质的微分方程，接下来我们就必须研究一个物理系统的大范围性质．物理学涉 
及的全部内容就是当我们从小范围出发时，我们可以知道在大范围内正在发生什么，可以 
预计将要发生什么，并且沿着这些结论前进． 



                              维数的增加 

    我的第二个主题有些不同，我称之为维数的增加．我们再次从经典的复变函数理论开 
始：经典复变函数论主要是详细讨论一个复变量理论并加以精炼．推广到两个或者更多个 
变量基本上发生在本世纪，并且是发生在有新现象出现的领域内．不是所有的现象都与一 
个变量的情形相同，这里有完全新的特性出现，并且n个变量的理论的研究越来越占有统 
治地位，这也是本世纪主要成就之一． 

    另一方面，过去的微分几何学家主要研究曲线和曲面，我们现在研究n维流形的几何 
,大家仔细想一想，就能意识到这是一个重要的转变．在早期，曲线和曲面是那些人们能 
真正在空间里看到的东西．而高维则有一点点虚构的成分，在其中人们可以通过数学思维 
来想象,但当时人们也许没有认真对待它们．认真对待它们并且用同样重视程度来研究它 
们的这种思想实际上是二十世纪的产物．同样地，也没有明显的证据表明我们十九世纪的 
先驱者们思考过函数个数的增加，研究不单单一个而是几个函数，或者是向量值函数(ve 
ctor-valued function)．所以我们看到这里有一个独立和非独立变量个数增加的问题． 

    线性代数总是涉及多个变量，但它的维数的增加更具有戏剧性，它的增加是从有限维 
到无穷维，从线性空间到有无穷个变量的Hilbert空间．当然这就涉及到了分析,在多个变 
量的函数之后，我们就有函数的函数，即泛函．它们是函数空间上的函数．它们本质上有 
无穷多个变量，这就是我们称为变分学的理论．一个类似的事情发生在一般（非线性）函 
数理论的发展中．这是一个古老的课题，但真正取得卓越的成果是在二十世纪．这就是我 
谈的第二个主题． 



                              从交换到非交换 

    第三个主题是从交换到非交换的转变．这可能是二十世纪数学，特别是代数学的最主 
要的特征之一．代数的非交换方面已经极其重要，当然，它源自于十九世纪．它有几个不 
同的起源．Hamilton在四元数方面的工作可能是最令人惊叹的，并且有巨大的影响，实际 
上这是受处理物理问题时所采用的思想所启发．还有Grassmann在外代数方面的工作，这 
是另一个代数体系，现在已经被融入我们的微分形式理论中．当然，还有Cayley以线性代 
数为基础的矩阵方面的工作和Galois在群论方面的工作等． 

    所有这些都是以不同的方式形成了把非交换乘法引入代数理论的基石，我形象地把它 
们说成是二十世纪代数机器赖以生存的“面包和黄油”．我们现在可以不去思考这些，但 
在十九世纪，以上所有例子都以各自不同的方式取得了重大的突破，当然，这些思想在不 
同的领域内得到了惊人的发展．矩阵和非交换乘法在物理中的应用产生了量子理论．Hei 
senberg对易关系是非交换代数在物理中的一个最重要的应用例子，以至后来被von Neum 
ann推广到他的算子代数理论中． 

    群论也是在二十世纪占重要位量的理论，我稍后再回来谈它． 



                            从线性到非线性 

    我的下一个主题是从线性到非线性的转变．古典数学的大部分或者基本上是线性的， 
或者即使不是很精确的线性，也是那种可以通过某些扰动展开来研究的近似线性，真正的 
非线性现象的处理是非常困难的，并且只是在本世纪，才在很大的范围内对其进行了真正 
的研究． 

    我们从几何开始谈起：Euclid几何，平面的几何，空间的几何，直线的几何，所有这 
一切都是线性的．而从非欧几何的各个不同阶段到Riemann的更一般的几何，所讨论的基 
本上是非线性的．在微分方程中，真正关于非线性现象的研究已经处理了众多我们通过经 
典方法所看不到的新现象．在这里我只举两个例子，孤立子和混沌，这是微分方程理论两 
个非常不同的方面，在本世纪已经成为极度重要和非常著名的研究课题了．它们代表不同 
的极端．孤立子代表非线性微分方程的无法预料的有组织的行为，而混沌代表的是无法预 
料的无组织的行为(disorganized behavior)．这两者出现在不同领域，都是非常有趣和 
重要的，但它们基本土都是非线性现象．我们同样可以将关于孤立子的某些工作的早期历 
史追溯到十九世纪下叶，但那只是很少的一部分． 

    当然，在物理学，Maxwell方程（电磁学的基本方程）是线性偏微分方程．与之对应 
的是著名的Yang-Mills方程，它们是非线性方程并被假定用来调控与物质结构有关的力． 
这些方程之所以是非线性的，是因为Yang-Mills方程本质上是Maxwell方程的矩阵体现， 
并且由矩阵不可交换这一事实导致方程中出现非线性项．于是在这里我们看到了一个非线 
性性与非交换性之间的有趣的联系．非交换性产生一类特殊的非线性性，这的确是很有意 
思和很重要的． 



                               几何与代数 

    至此我谈的是一些一般性的主题，现在我想谈论一下数学中的一个二分叉现象，它来 
回摇摆却始终伴随着我们，这就给了我一个机会来做一些哲学上的思索和说明．我指的是 
几何和代数之间的二分法，几何和代数是数学的两个形式支柱，并且都有悠久的历史．几 
何学可以追溯到古希腊甚至更早的时期；代数学则源于古阿拉伯人和古印度人．所以，它 
们都已经成为数学的基础，但它们之间有一种令人感到不太自然的关系． 

    让我首先由这个问题的历史开始．Euc1id几何是数学理论中最早的一个例子，直到D 
escartes在我们现在称为的笛卡儿平面中引入代数坐标之前，它一直是纯几何的．Desca 
rtes的做法是一种将几何思考化为代数运算的尝试．从代数学家们的角度来讲，这当然是 
对几何学的一个重大突破或者说一次重大的冲击，如果我们来比较Newton和Leibniz在分 
析方面的工作，我们会发现他们属于不同的传统，Newton基本上是一个几何学家而Le1bn 
iz基本土是一个代数学家，这其中有着很深刻的道理．对于Newton而言，几何学，或者是 
由他发展起来的微积分学，都是用来描述自然规律的数学尝试．他关心的是在很广泛意义 
下的物理，以及几何世界中的物理．在他看来，如果有人想了解事物，他就得用物理世界 
的观点来思考它，用几何图象的观点来看待它．当他发展微积分的时候，他想要发展的是 
微积分的一种能尽可能贴近隐藏在其后的物理内蕴的表现形式．所以他用的是几何论证， 
因为这样可以与实际意义保持密切关系，另一方面，Leibniz有一个目标，一个雄心勃勃 
的目标，那就是形式化整个数学，将之变成一个庞大的代数机器．这与Newton的途径截然 
不同，并且二者有很多不同的记号．正如我们所知道的，在Newton和Leibniz之间的这场 
大争论中，Leibniz的记号最后得胜．我们现在还沿用他的记号来写偏导数．Newton的精 
神尚在，但被人们埋葬了很长时间． 

    在十九世纪末期，也就是一百年前，Poincaré和Hilbert是两个主要人物．我在前面 
已经提到过他们了，并且可以粗略地讲，他们分别是Newton和Leibniz的传人．Poincaré 
的思想更多的是几何和拓扑的精神，他用这些思想作为他的基本洞察工具．Hilbert更多 
的是一个形式主义者，他要的是公理化，形式化，并且要给出严格的，形式的描述．虽然 
任何一个伟大的数学家都不能轻易地被归到哪一类中去，但是，很清楚地，他们属于不同 
的传统． 

    当准备这个报告的时候，我想我应该写下我们目前这一代中能够继承这些传统的具有 
代表性的人的名字．谈论还健在的人是十分困难的——谁该放在这张名单上呢？接着我又 
暗自思忖：有谁会介意被放在这么一张著名的名单的哪一边呢？于是我选择了两个名字A 
rnold　Bourbaki，前者是Poincaré-Newton传统的继承人，而后者，我认为，是Hilber 
t最著名的接班人．Arnold毫不含糊地认为：他的力学和物理的观点基本上是几何的，是 
源自于Newton的；以为存在处于二者之间的东西，除了象Riemann（他确实跟两者都有偏 
离）等少数人之外，都是一种误解．Bourbaki努力继续Hilbert的形式化的研究，将数学 
公理化和形式化推向了一个令人瞩目的范围并取得了一些成功．每一种观点都有它的优点 
，但是它们之间很难调和． 

    让我来解释一下我自己是如何看待几何和代数之间的不同．几何学当然讲的是空间， 
这是毫无疑问的．如果我面对这间房间里的听众，我可以在一秒中内或者是一微秒内看到 
很多，接收到大量的信息，当然这不是一件偶然的事件．我们大脑的构造与视觉有着极其 
重要的关系．我从一些从事神经生理学的朋友那里了解到，视觉占用了大脑皮层的百分之 
八十或九十．在大脑中大约有十七个中枢，每一个中枢专门用来负责视觉活动的不同部分 
：有些部分涉及的是垂直方向的，有些部分与水平方向有关，有些部分是关于色彩和透视 
的，最后有些部分涉及的是所见事物的具体含义和解说．理解并感知我们所看到的这个世 
界是我们人类发展进化的一个非常重要的部分．因此空间直觉(spatial intuition)或者 
空间知觉(spatial perception)是一种非常强有力的工具，也是几何学在数学上占有如此 
重要位置的原因，它不仅仅对那些明显具有几何性质的事物可以使用，甚至对那些没有明 
显几何性质的事物也可以使用．我们努力将它们归结为几何形式，因为这样可以让我们使 
用我们的直觉．我们的直觉是我们最有力的武器．特别是在向学生或是同事讲解一种数学 
时可以看得很清楚．当你讲解一个很长而且很有难度的论证，最后使学生明白了．学生这 
时会说些什么呢？他会说“我看到了（我懂了）！”在这里看见与理解是同义词，而且我 
们还可以用“知觉”这个词来同时形容它们，至少这在英语里是对的，把这个现象与其他 
语言作对比同样有趣．我认为有一点是很基本的：人类通过这种巨大的能力和视觉的瞬间 
活动获取大量的信息，从而得以发展，而教学参与其中并使之完善． 

    在另一方面（也许有些人不这样认为），代数本质上涉及的是时间．无论现在做的是 
哪一类代数，都是一连串的运算被一个接着一个罗列出来，这里“一个接着一个”的意思 
是我们必须有时间的概念．在一个静态的宇宙中，我们无法想象代数，但几何的本质是静 
态的：我可以坐在这里观察，没有什么变化，但我仍可以继续观察．然而,代数与时间有 
关，这是因为我们有一连串的运算，这里当我谈到“代数”时，我并不单单指现代代数． 
任何算法，任何计算过程，都是一个接着一个地给出一连串步骤,现代计算机的发展使这 
一切看得很清楚．现代计算机用一系列0和1来反映其信息并由此给出问题的答案． 

    代数涉及的是时间的操作，而几何涉及的是空间．它们是世界互相垂直的两个方面， 
并且它们代表数学中两种不同的观念．因此在过去数学家们之间关于代数和几何相对重要 
性的争论或者对话代表了某些非常非常基本的事情． 

    当然只是为了论证是哪一边输了，哪一边胜利了，这并不值得．当我考虑这个问题时 
，有一个形象的类比：“你愿意成为一个代数学家还是一个几何学家？”这个问题就象问 
：“你愿意是聋子还是瞎子？”一样．如果人的眼睛盲了，就看不见空间；如果人的耳朵 
聋了，就无法听见，听觉是发生在时间之中的，总的来说，我们还是宁愿二者都要． 

    在物理学，也有一个类似的、大致平行的关于物理概念和物理实验之间的划分．物理 
学有两个部分：理论——概念，想法，单词，定律——和实验仪器．我认为概念在某种广 
义的意义下是几何的，这是因为它们涉及的是发生在真实世界的事物．另一方面，实验更 
象一个代数计算．人们做事情总要花时间，测定一些数，将它们代入到公式中去．但是在 
实验背后的基本概念却是几何传统的一部分． 

    将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说，那就是对几何学家而言，代数就 
是所谓的“浮士德的奉献”．正如大家所知道的，在歌德的故事里，浮士德通过魔鬼可以 
得到他所想要的（就是一个漂亮女人的爱），其代价是出卖他的灵魂，代数就是由魔鬼提 
供给数学家的供品．魔鬼会说：“我将给你这个有力的机器，它可以回答你的任何问题． 
你需要做的就是把你的灵魂给我：放弃几何，你就会拥有这个威力无穷的机器”(现在可 
以把它想象成为一台计算机!)．当然我们希望同时拥有它们，我们也许可以欺骗魔鬼，假 
装我们出卖灵魂，但不真地给它．不过对我们灵魂的威胁依然存在，这是因为当我们转入 
代数计算时，本质上我们会停止思考，停止用几何的观念来考虑问题，不再思考其含义． 

    在这里我谈论代数学家的话重了一些，但是基本土，代数的目标总是想建立一个公式 
，把它放到一个机器中去，转动一下把手就可以得到答案．也就是拿来一个有意义的东西 
，把它化成一个公式，然后得到答案．在这样的一个过程中，人们不再需要思考代数的这 
些不同阶段对应的几何是什么．就这样，洞察力丢掉了，而这在那些不同的阶段都是非常 
重要的．我们绝不能放弃这些洞察力！最终我们还是要回到这上面来的，这就是我所谈到 
的浮士德的奉献．我肯定这种讲法尖锐了一点． 

    几何和代数的这种选择导致能融合二者的一些交叉课题的产生，并且代数和几何之间 
的区别也不象我讲的那样直截了当和朴实无华．例如，代数学家们经常使用图式(diagra 
m)．而除了几何直觉，图式又能是什么呢？ 



                               通用的技术 

    现在我不想再谈论太多就内容来划分的主题，而想谈谈那些依照已经使用的技术和常 
见方法所确定的主题，也就是我想描述一些已经广泛应用于众多领域的常见方法．第一个 
就是： 

                                同调论 

    历史上同调论是作为拓扑学的一个分支而发展起来的．它涉及到以下情形．现有一个 
复杂的拓扑空间，我们想从中得到它的一些简单信息如计算它的洞或者类似事物的个数, 
得到某些与之联系的可加的线性不变量等．这是一种在非线性条件下关干线性不变量的构 
造．从几何的角度来看，闭链可加可减，这样就得到了所谓的一个空间的同调群．同调论 
，作为一种从拓扑空间获取某些信息的基本代数工具，是在本世纪上半叶发现的．这是一 
种从几何中获益匪浅的代数． 

    同调概念也出现在其他一些方面．其另一个源头可以追溯到Hilbert及其关于多项式 
的研究中，多项式是非线性的函数，它们相乘可以得到更高次数的多项式．正是Hilbert 
那伟大的洞察力促使他来讨论“理想”，具有公共零点的多项式的线性组合．他要寻找这 
些理想的生成元．生成元可能有很多．他审视它们之间的关系以及关系之间的关系．于是 
他得到这些关系的一个分层谱系，这就是所谓的“Hilbert合系”．Hilbert的这个理论是 
一种非常复杂的方法，他试图将一个非线性的情形（多项式的研究）化为线性情形．本质 
上来讲，Hilbert构造了一个线性关系的复杂体系．能够把象多项式这样的非线性事物的 
某些信息纳入其中． 

    这个代数理论实际上是与上述拓扑理论平行的，而且现在它们已融合在一起构成了所 
谓的“同调代数”．在代数几何学中，本世纪五十年代最伟大的成就之一是层的上同调理 
论的发展及在解析几何学中的扩展，这是由Leray，Cartan，Serre和Grothendieck等人组 
成的法国学派取得的．从中我们可以感受到一种既有Riemann-Poincaré的拓扑思想，又 
有Hilbert的代数思想，再加上某些分析手段的融合， 

    这表明同调论在代数的其它分支也有着广泛的应用．我们可以引入同调群的概念，它 
通常是与非线性事物相关的线性事物．我们可以将之应用于群论，例如，有限群，以及李 
代数：它们都有相应的同调群．在数论方面，同调群通过Galois群产生了非常重要的应用 
．因此在相当广泛的情形下同调论都是强有力的工具之一，它也是二十世纪数学的一个典 
型的特征． 

                                    K-理论 

    我要谈的另外一个技术就是所谓的“K-理论”．它在很多方面都与同调论相似，它的 
历史并不很长（直到二十世纪中叶才出现，尽管其起源的某些方面也许可以追溯到更早一 
些），但它却有着很广泛的应用，已经渗透进了数学的许多部分．K-理论实际上与表示理 
论紧密相联，有限群的表示理论，可以讲，起源于十九世纪．但是其现代形式——K-理论 
却只有一个相对较短的历史．K-理论可以用下面的方式来理解：它可以被想成是应用矩阵 
论的一种尝试．我们知道矩阵的乘法是不可交换的，于是我们想构造矩阵可换的或是线性 
的不变量．迹，维数和行列式都是矩阵论中可换的不变量，而K-理论即是试图处理它们的 
一种系统的方法，它有时也被称为“稳定线性代数”．其思想就是，如果我们有很多矩阵 
，那么把两个不可换的矩阵A和矩阵B放在不同块的正交位置上，它们就可换了，因为在一 
个大的空间里，我们可以随意移动物体．于是在某些近似情况下，这样做是很有好处的， 
足以让我们得到一些信息，这就是作为一个技术的K-理论的基石．这完全类似于同调论， 
二者都是从复杂的非线性情形获取线性的信息． 

    在代数几何中，K-理论是由Grothendieck首先引入的，并且取得了巨大的成功，这些 
与我们刚刚谈到的层理论密切相关，而且也和他在Riemann-Roch定理方面的工作有紧密联 
系． 

    在拓扑学方面，Hirzebruch和我照搬了这些思想并且将它们应用到一个纯粹的拓扑范 
畴内．从某种意义下来说，如果Grothendieck的工作与Hilbert在合系方面的工作有关， 
那么我们的工作更接近于Riemann-Poincaré在同调方面的工作，我们用的是连续函数， 
而他用的是多项式．K-理论也在椭圆算子的指标理论和线性分析的研究中起了重要作用． 

    从另外一个不同的角度，Milnor，Quillen和其他人发展了K-理论的代数方面，这在 
数论的研究中有着潜力巨大的应用．沿着这个方向的发展导致了许多有趣问题的产生． 

    在泛函分析方面，包括象Kasparov在内的许多人的工作将连续的K-理论推广到非交换 
的C*-代数情形．一个空间上的连续函数在函数乘积意义下形成一个交换代数．但是在其 
他情形下，自然地产生了类似的关于非交换情形的讨论，这时，泛函分析也就自然而然地 
成为了这些问题的温床． 

    因此，K-理论是另外一个能够将相当广泛的数学的许多不同方面都能用这种比较简单 
的公式来处理的领域，尽管在每一个情形下，都有很多特定于该方面且能够连接其他部分 
的非常困难的，技巧性很强的问题．K-理论不是一个统一的工具，它更象是一个统一的框 
架，在不同部分之间具有类比和相似． 

    这个工作的许多内容已经被Alain Connes推广到“非交换微分几何”． 

    非常有趣的是，也就是在最近，Witten通过他在弦理论方面（基础物理学的最新思想 
）的工作发现许多很有趣的方法都与K-理论有关，并且K-理论看起来为那些所谓的“守恒 
量”提供了一个很自然的“家”．虽然在过去同调论被认为是这些理论的自然框架，但是 
现在看起来K一理论能提供更好的答案． 

                                李群 

    另一个不单单是一项技术、而且是具有统一性的概念是李群．现在说起李群，我们基 
本上就是指正交群，酉群，辛群以及一些例外群，它们在二十世纪数学历史中起了非常重 
要的作用．它们同样起源于十九世纪．SophusLie是一位十九世纪的挪威数学家．正如很 
多人所讲的那样，他和Fleix Klein，还有其他人一起推动了“连续群理论”的发展．对 
Klein而言，一开始，这是一种试图统一处理Euclid几何和非欧几何这两种不同类型几何 
的方法．虽然这个课题源于十九世纪，但真正起步却是在二十世纪，作为一种能够将许多 
不同问题归并于其中来研究的统一性框架，李群理论深深地影响了二十世纪． 

    我现在来谈谈Klein思想在几何方面的重要性．对于Klein而言，几何就是齐性空间， 
在那里，物体可以随意移动而保持形状不变，因此，它们是由一个相关的对称群来控制的 
．Euclid群给出Euclid几何而双曲几何源于另一个李群．于是每一个齐性几何对应一个不 
同的李群．但是到了后来，随着对Riemann的几何学工作的进一步发展，人们更关心那些 
不是齐性的几何，此时曲率随着位置的变化而变化，并且空间不再有整体对称性，然而， 
李群仍然起着重要的作用，这是因为在切空间中我们有Euclid坐标，以至于李群可以出现 
在一种无穷小的层面上．于是在切空间中，从无穷小的角度来看，李群又出现了，只不过 
由于要区分不同位置的不同点，我们需要用某种可以处理不同李群的方式来移动物体．这 
个理论是被Eile Cartan真正发展起来的，成为现代微分几何的基石，该理论框架对于Ei 
nstein的相对论也起着基本的作用．当然Einstein的理论极大地推动了微分几何的全面发 
展． 

    进入二十世纪，我前面提到的整体性质涉及到了在整体层面上的李群和微分几何．一 
个主要的发展是给出所谓的“示性类”的信息，这方面标志性的工作是由Borel和Hirzeb 
ruch给出的，示性类是拓扑不变量并且融合三个关键部分：李群，微分几何和拓扑，当然 
也包含与群本身有关的代数． 

    在更带分析味的方向上，我们得到了现在被称为非交换调和分析的理论．这是Fouri 
er理论的推广，对于后者，Fourier级数或者是Fourier积分本质上对应于圆周和直线的交 
换李群，当我们用更为复杂的李群代替它们时，我们就可以得到一个非常漂亮、非常精巧 
并且将李群表示理论和分析融为一体的理论．这本质上是Harish-Chandra一生的工作． 

    在数论方面，整个“Lang1ands纲领”,现在许多人都这样称呼它，紧密联系于Haris 
h-Chandra理论，产生于李群理论之中．对于每一个李群，我们都可以给出相应的数论和 
在某种程度实施Langlands纲领．在本世纪后半叶，代数数论的一大批工作深受其影响． 
模形式的研究就是其中一个很好的例证，这还包括Andrew Wiles在Fermat大定理方面的工 
作． 

    也许有人认为李群只不过在几何范畴内特别重要而已，因为这是出于连续变量的需要 
．然而事实并非如此，有限域上的李群的类似讨论可以给出有限群，并且大多数有限群都 
是通过这种方式产生的．因此李群理论的一些技巧甚至可以被应用到有限域或者是局部域 
等一些离散情形中．这方面有许多纯代数的工作，例如与George Lusztig名字联系在一起 
的工作．在这些工作中，有限群的表示理论被加以讨论，并且我已经提到的许多技术在这 
里也可以找到它们的用武之地． 

                               有限群 

    上述讨论已把我们带到有限群的话题，这也提醒了我：有限单群的分类是我必须承认 
的一项工作．许多年以前，也就是在有限单群分类恰要完成之时,我接受了一次采访，并 
且我还被问道我对有限单群分类的看法,我当时很轻率地说我并不认为它有那么重要．我 
的理由是有限单群分类的结果告诉我们，大多数单群都是我们已知的，还有就是一张有关 
若干例外情形的表．在某种意义下，这只不过是结束了一个领域．而并没有开创什么新东 
西，当事物用结束代替开始时，我不会感到很兴奋．但是我的许多在这一领域工作的朋友 
听到我这么讲，理所当然地会感到非常非常不高兴，我从那时起就不得不穿起“防弹衣” 
了． 

    在这项研究中，有一个可以弥补缺点的优点．我在这里实际上指的是在所有的所谓“ 
散在群”(sporadic groups)中，最大的被赋予了“魔群”名字的那一个．我认为魔群的 
发现这件事本身就是有限单群分类中最叫人兴奋的结果了．可以看出魔群是一个极其有意 
思的动物而且现在还处于被了解之中．它与数学的许多分支的很大一部分有着意想不到的 
联系，如与椭圆模函数的联系，甚至与理论物理和量子场论都有联系．这是分类工作的一 
个有趣的副产品．正如我所说的，有限单群分类本身关上了大门，但是魔群又开启了一扇 
大门． 



                             物理的影响 

    现在让我把话题转到一个不同的主题，即谈谈物理的影响．在整个历史中，物理与数 
学有着非常悠久的联系，并且大部分数学，例如微积分，就是为了解决物理中出现的问题 
而发展起来的．在二十世纪中叶，随着大多数纯数学在独立于物理学时仍取得了很好的发 
展，这种影响或联系也许变得不太明显．但是在本世纪最后四分之一的时间里，事情发生 
了戏剧性的变化,让我试着简单地评述一下物理学和数学，尤其是和几何的相互影响． 

    在十九世纪，Hamilton发展了经典力学，引入了现在称为Hamilton量的形式化．经典 
力学导出现在所谓的“辛几何”．这是几何的一个分支，虽然很早已经有人研究了，但是 
实际上直到最近二十年，这个课题才得到真正的研究．这已经是几何学非常丰富的一部分 
．几何学，我在这里使用这个词的意思是指，它有三个分支：Riemann几何，复几何和辛 
几何，并且分别对应三个不同类型的李群．辛几何是它们之中最新发展起来的，并且在某 
种意义下也许是最有趣的，当然也是与物理有极其紧密联系的一个，这主要因为它的历史 
起源与Hamilton力学有关以及近些年来它与量子力学的联系．现在，我前面提到过的、作 
为电磁学基本线性方程的Maxwell方程，是Hodge在调和形式方面工作和在代数几何中应用 
方面工作的源动力．这是一个非常富有成果的理论，并且自从本世纪三十年代以来已经成 
为几何学中的许多工作的基础． 

    我已经提到过广义相对论和Einstein的工作．量子力学当然更是提供了一个重要的实 
例．这不仅仅体现在对易关系上，而且更显著地体现在对Hilbert空间和谱理论的强调上 
． 

    以一种更具体和明显的方式，结晶学的古典形式是与晶体结构的对称性有关的．第一 
个被研究的实例是发生在点周围的有限对称群，这是鉴于它们在结晶学中的应用．在本世 
纪中，群论更深刻的应用已经转向与物理的关系，被假设用来构成物质的基本粒子看起来 
在最小的层面上有隐藏的对称性，在这个层面上，有某些李群在此出没，对此我们看不见 
，但是当我们研究粒子的实际行为时，它们的对称性就显现无遗了．所以我们假定了一个 
模型，在这个模型当中，对称性是一个本质性的要素，而且目前那些很普遍的不同理论都 
有一些象SU(2)和SU(3)那样的基本李群融入其中并构成基础的对称群，因此这些李群看起 
来象是建设物质大厦的砖石． 

    并不是只有紧李群才出现在物理中,一些非紧李群也出现在物理中，例如Lorentz群． 
正是由物理学家第一个开始研究非紧李群的表示理论的．它们是那些能够发生在Hilbert 
空间的表示，这是因为，对于紧群而言，所有不可约表示都是有限维的，而非紧群需要的 
是无穷维表示，这也是首先由物理学家意识到的． 

    在二十世纪的最后25年里，正如我刚刚完成阐述的，有一种巨大的从物理学的新思想 
到数学的渗透，这也许是整个世纪最引人注目的事件之一，就这个问题本身，也许就需要 
一个完整的报告，但是，基本上来讲，量子场论和弦理论已经以引人注目的方式影响了数 
学的许多分支，得到了众多的新结果、新思想和新技术．这里，我的意思是指物理学家通 
过对物理理论的理解已经能够预言某些在数学上是对的事情了．当然，这不是一个精确的 
证明，但是确有非常强有力的直觉、一些特例和类比所支持．数学家们经常来检验这些由 
物理学家预言的结果，并且发现它们基本上是正确的，尽管给出证明是很困难的而且它们 
中的许多还没有被完全证明． 

    所以说沿着这个方向，在过去的25年里取得了巨大的成果．这些结果是极其细致的． 
这并不象物理学家所讲的“这是一种应该是对的东西”．他们说：“这里有明确的公式， 
还有头十个实例（涉及超过12位的数字）”．他们会给出关于复杂问题的准确答案，这些 
决不是那种靠猜测就能得到的，而是需要用机器计算的东西，量子场论提供了一个重要的 
工具，虽然从数学上来理解很困难，但是站在应用的角度，它有意想不到的回报．这是最 
近25年中真正令人兴奋的事件． 

    在这里我列一些重要的成果：SimonDona1dson在四维流形方面的工作；Vaughan-Jon 
es在扭结不变量方面的工作；镜面对称，量子群；再加上我刚才提到的“魔群” 

    这个主题到底讲的是什么呢？正如我在前面提到过的一样，二十世纪见证了维数的一 
种转换并且以转换为无穷维而告终，物理学家超越了这些，在量子场论方面，他们真正试 
图对广泛的无穷维空间进行细致的研究，他们处理的无穷维空间是各类典型的函数空间， 
它们非常复杂，不仅是因为它们是无穷维的，而且它们有复杂的代数、几何以及拓扑，还 
有围绕其中的很大的李群，即无穷维的李群，因此正如二十世纪数学的大部分涉及的是几 
何、拓扑、代数以及有限维李群和流形上分析的发展，这部分物理涉及了在无穷维情形下 
的类似处理．当然，这是一件非常不同的事情，但确有巨大的成功． 

    让我更详尽地解释一下，量子场论存在于空间和时间中．空间的真正的意义是三维的 
，但是有简化的模型使我们将空间取成一维．在一维空间和一维时间里，物理学家遇到的 
典型事物，用数学语言来讲，就是由圆周的微分同胚构成的群或者是由从圆周到一个紧李 
群的微分映射构成的群．它们是出现在这些维数里的量子场论中的两个非常基本的无穷维 
李群的例子，它们也是理所当然的数学事物并且已经被数学家们研究了一段时间． 

    在这样一个1＋1维理论中，我们将时空取成一个Riemann曲面并且由此可以得到很多 
新的结果．例如，研究一个给定亏格数的Riemann曲面的模空间是个可以追溯到上个世纪 
的古典课题．而由量子场论已经得到了很多关于这些模空间的上同调的新结果．另一个非 
常类似的模空间是一个具有亏格数g的Riemann曲面上的平坦G-丛的模空间．这些空间都是 
非常有趣的并且量子场论给出关于它们的一些精确结果．特别地，可以得到一些关于体积 
的很漂亮的公式，这其中涉及到Zeta函数的取值． 

    另一个应用与计数曲线(counting curve)有关．如果我们来看给定次数和类型的平面 
代数曲线，我们想要知道的是，例如，经过那么多点究竟有多少曲线，这样我们就要面临 
代数几何的计数问题，这些问题在上个世纪一直是很经典的．而且也是非常困难的．现在 
它们已经通过被称为“量子上同调”的现代技术解决了，这完全是从量子场论中得到的． 
或者我们也可以接触那些关于不在平面上而在弯曲族上的曲线的更加困难的问题，这样我 
们得到了另一个具有明确结果的被称为镜面对称的美妙理论，所有这些都产生于1＋1维量 
子场论． 

    如果我们升高一个维数，也就是2-维空间和1-维时间，就可以得到Vaughan-Jones的 
扭结不变量理论．这个理论已经用量子场论的术语给予了很美妙的解释和分析． 

    量子场论另一个结果是所谓的“量子群”．现在关于量子群的最好的东西是它们的名 
字．明确地讲它们不是群！如果有人要问我一个量子群的定义，我也许需要用半个小时来 
解释，它们是复杂的事物，但毫无疑问它们与量子理论有着很深的联系它们源于物理，而 
且现在的应用者是那些脚踏实地的代数学家们，他们实际上用它们进行确定的计算． 

    如果我们将维数升得更高一些，到一个全四维理论（三加一维），这就是Donaldson 
的四维流形理论，在这里量子场论产生了重大影响．特别地，这还导致Seiberg和Witten 
建立了他们相应的理论，该理论建立在物理直觉之上并且也给出许多非同寻常的数学结果 
．所有这些都是些突出的例子．其实还有更多的例子． 

    接下来是弦理论并且这已经是过时的了！我们现在所谈论的是M一理论，这是一个内 
容丰富的理论，其中同样有大量的数学，从关于它的研究中得到的结果仍有待于进一步消 
化并且足可以让数学家们忙上相当长的时间． 



                                历史的总结 

    我现在作一个简短的总结．让我概括地谈谈历史：数学究竟发生了什么？我相当随意 
地把十八世纪和十九世纪放在了一起，把它们当做我们称为古典数学的时代，这个时代是 
与Euler和Gauss这样的人联系在一起的，所有伟大的古典数学结果也都是在这个时代被发 
现和发展的．有人也许认为那几乎就是数学的终结了，但是相反地，二十世纪实际上非常 
富有成果，这也是我一直在谈论的． 

    二十世纪大致可以一分为二地分成两部分．我认为二十世纪前半叶是被我称为“专门 
化的时代”，这是一个Hilbert的处理办法大行其道的时代，即努力进行形式化，仔细地 
定义各种事物，并在每一个领域中贯彻始终．正如我说到过的，Bourbaki的名字是与这种 
趋势联系在一起的．在这种趋势下，人们把注意力都集中于在特定的时期从特定的代数系 
统或者其它系统能获得什么．二十世纪后半叶更多地被我称为“统一的时代”，在这个时 
代，各个领域的界限被打破了，各种技术可以从一个领域应用到另外一个领域，并且事物 
在很大程度上变得越来越有交叉性．我想这是一种过于简单的说法，但是我认为这简单总 
结了我们所看到的二十世纪数学的一些方面． 

    二十一世纪会是什么呢？我已经说过，二十一世纪是量子数学的时代，或者，如果大 
家喜欢，可称为是无穷维数学的时代．这意味着什么呢？量子数学的含义是指我们能够恰 
当地理解分析、几何、拓扑和各式各样的非线性函数空间的代数，在这里，“恰当地理解 
”，我是指能够以某种方式对那些物理学家们已经推断出来的美妙事物给出较精确的证明 
． 

    有人要说，如果用天真幼稚的方式(naive way)来研究无穷维并问一些天真幼稚的问 
题，通常来讲，只能得到错误的答案或者答案是无意义的，物理的应用、洞察力和动机使 
得物理学家能够问一些关于无穷维的明智的问题，并且可以在有合乎情理的答案时作一些 
非常细致的工作，因此用这种方式分析无穷维决不是一件轻而易举的事情．我们必须沿着 
这条正确的道路走下去．我们已经得到了许多线索，地图已经摊开了：我们的目标已经有 
了，只不过还有很长的路要走． 

    还有什么会发生在二十一世纪？我想强调一下Connes的非交换微分几何．Alain Con 
nes拥有这个相当宏伟的统一理论．同样，它融合了一切．它融合了分析、代数、几何、 
拓扑、物理、数论，所有这一切都是它的一部分．这是一个框架性理论，它能够让我们在 
非交换分析的范畴里从事微分几何学家通常所做的工作，这当中包括与拓扑的关系．要求 
这样做是有很好的理由的，因为它在数论、几何、离散群等等以及在物理中都有（潜力巨 
大的或者特别的）应用．一个与物理有趣的联系也刚刚被发现．这个理论能够走多远，能 
够得到什么结果，还有待进一步观察．它理所当然地是我所期望的至少在下个世纪头十年 
能够得到显著发展的课题，而且找到它与尚不成熟的（精确）量子场论之间的联系是完全 
有可能的． 

    我们转到另一个方面，也就是所谓的“算术几何”或者是Arakelov几何，其试图尽可 
能多地将代数几何和数论的部分内容统一起来．这是一个非常成功的理论．它已经有了一 
个美好的开端，但仍有很长的路要走．这又有谁知道呢？ 

    当然，所有这些都有一些共同点．我期待物理学能够将它的影响遍及所有地方，甚至 
是数论：Andrew Wiles不同意我这样说，只有时间会说明一切． 

    这些是我所能看到的在下个十年里出现的几个方面，但也有一些难以捉摸的东西：返 
回至低维几何．与所有无穷维的富有想象的事物在一起，低维几何的处境有些尴尬．从很 
多方面来看，我们开始时讨论的维数，或我们祖先开始时的维数，仍留下某些未解之谜． 
维数为2，3和4的对象被我们称为“低”维的．例如Thurston在三维几何的工作，目标就 
是能够给出一个三维流形上的几何分类，这比二维理论要深刻得多．Thurston纲领还远远 
没有完成，完成这个纲领当然将是一个重要的挑战． 

    在三维中另外一个引人注目的事件是Vaughan-Jones那些思想本质上来源于物理的工 
作．这给了我们更多的关于三维的信息，并且它们几乎完全不在Thurston纲领包含的信息 
之内．如何将这两个方面联系起来仍然是一个巨大的挑战，但是最近得到的结果暗示两者 
之间可能有一座桥，因此，整个低维的领域都与物理有关，但是其中实在有太多让人琢磨 
不透的东西． 

    最后，我要提一下的是在物理学中出现的非常重要的“对偶”．这些对偶，泛泛地来 
讲，产生于一个量子理论被看成一个经典理论时有两种不同的实现．一个简单的例子是经 
典力学中的位置和动量的对偶．这样由对偶空间代替了原空间，并且在线性理论中，对偶 
就是Fourier变换．但是在非线性理论中，如何来代替Fourier变换是巨大的挑战之一．数 
学的大部分都与如何在非线性情形下推广对偶有关．物理学家看起来能够在他们的弦理论 
和M一理论中以一种非同寻常的方式做到了这一点．他们构造了一个又一个令人叹为观止 
的对偶实例，在某种广义的意义下，它们是Fourier变换的无穷维非线性体现，并且看起 
来它们能解决问题，然而理解这些非线性对偶性看起来也是下个世纪的巨大挑战之一． 

    我想我就谈到这里．这里还有大量的工作，并且我觉得象我这样的一个老人可以和你 
们这么多的年轻人谈谈是一件非常好的事情；而且我也可以对你们说：在下个世纪，有大 
量的工作在等着你们去完成． (end)



（原载《数学译林》2002/2，白承铭译，周性伟、冯惠涛校）

以前不怎么看书的，后来在老婆大人的影响下，现在每天睡觉前躺在床上都要看会儿书。看看自己到新学校来的借书记录，已经借了一百多本了，把自己认为不错的几本闲书列下来：

泰戈尔小说全译    《戈拉》 董友忱主编
一千零一夜   纳训译
我与地坛     史铁生著
隋唐演义     [清]褚人获编著 刘正风点校
隐居的时代   王安忆著
希腊的神话和传说  (德)斯威布著
东周列国志        (明) 冯梦龙改编
韦尔斯世界简史    (英) H. G·韦尔斯著
钟鼓楼     刘心武著
沧浪之水   阎真著
啼笑因缘   张恨水著
藏獒       杨志军著
黄金时代   王小波著

辉煌的波马  张承志著